Lineare Algebra Beispiele

${| p + q |}^{2} + {| p - q |}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Entferne den Absolutwert in ${| p + q |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

${(p + q)}^{2} + {| p - q |}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}$

Schritt 1.2

Entferne den Absolutwert in ${| p - q |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Entferne den Absolutwert in ${| p |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 p^{2} + 2 {| q |}^{2}$

Schritt 2.2

Entferne den Absolutwert in ${| q |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 p^{2} + 2 q^{2}$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die $p$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $2 p^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Schreibe ${(p + q)}^{2}$ als $(p + q) (p + q)$ um.

$(p + q) (p + q) + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Schritt 3.2.2

Multipliziere $(p + q) (p + q)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (p + q) + q (p + q) + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Schritt 3.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p \cdot p + p q + q (p + q) + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Schritt 3.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p \cdot p + p q + q p + q \cdot q + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Mutltipliziere $p$ mit $p$ .

$p^{2} + p q + q p + q \cdot q + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Schritt 3.2.3.1.2

Mutltipliziere $q$ mit $q$ .

$p^{2} + p q + q p + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Schritt 3.2.3.2

Addiere $p q$ und $q p$ .

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Schritt 3.2.3.2.1

Stelle $q$ und $p$ um.

$p^{2} + p q + p q + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Schritt 3.2.3.2.2

Addiere $p q$ und $p q$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Schritt 3.2.4

Schreibe ${(p - q)}^{2}$ als $(p - q) (p - q)$ um.

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + (p - q) (p - q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Schritt 3.2.5

Multipliziere $(p - q) (p - q)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p (p - q) - q (p - q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Schritt 3.2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p \cdot p + p (- q) - q (p - q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Schritt 3.2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p \cdot p + p (- q) - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Schritt 3.2.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.6.1.1

Mutltipliziere $p$ mit $p$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} + p (- q) - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Schritt 3.2.6.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Schritt 3.2.6.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 q \cdot q - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Schritt 3.2.6.1.4

Multipliziere $q$ mit $q$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.6.1.4.1

Bewege $q$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 (q \cdot q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Schritt 3.2.6.1.4.2

Mutltipliziere $q$ mit $q$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Schritt 3.2.6.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p + 1 q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Schritt 3.2.6.1.6

Mutltipliziere $q^{2}$ mit $1$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Schritt 3.2.6.2

Subtrahiere $q p$ von $- p q$ .

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Schritt 3.2.6.2.1

Bewege $q$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - 1 p q + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Schritt 3.2.6.2.2

Subtrahiere $p q$ von $- p q$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - 2 p q + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Schritt 3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - 2 p q + q^{2} - 2 p^{2}$ .

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $2 p q$ von $2 p q$ .

$p^{2} + q^{2} + p^{2} + 0 + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Schritt 3.3.2

Addiere $p^{2} + q^{2} + p^{2}$ und $0$ .

$p^{2} + q^{2} + p^{2} + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Schritt 3.4

Addiere $p^{2}$ und $p^{2}$ .

$2 p^{2} + q^{2} + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Schritt 3.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 p^{2} + q^{2} + q^{2} - 2 p^{2}$ .

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Schritt 3.5.1

Subtrahiere $2 p^{2}$ von $2 p^{2}$ .

$q^{2} + q^{2} + 0 = 2 q^{2}$

Schritt 3.5.2

Addiere $q^{2} + q^{2}$ und $0$ .

$q^{2} + q^{2} = 2 q^{2}$

Schritt 3.6

Addiere $q^{2}$ und $q^{2}$ .

$2 q^{2} = 2 q^{2}$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $2 q^{2} = 2 q^{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 q^{2} = 2 q^{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 q^{2}}{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 q^{2}}{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $q^{2}$ durch $1$ .

$q^{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$q^{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

Schritt 4.3.1.2

Dividiere $q^{2}$ durch $1$ .

$q^{2} = q^{2}$

Schritt 5

Da die Exponenten gleich sind, müssen die Basen der Exponenten auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$| q | = | q |$

Schritt 6

Löse nach $q$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Betragsgleichung als vier Gleichungen ohne Absolutwerte.

$q = q$

$q = - q$

$- q = q$

$- q = - q$

Schritt 6.2

Nach dem Vereinfachen gibt es nur zwei eindeutige Gleichungen, die gelöst werden müssen.

$q = q$

$q = - q$

Schritt 6.3

Löse $q = q$ nach $q$ auf.

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Schritt 6.3.1

Bringe alle Terme, die $q$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.1.1

Subtrahiere $q$ von beiden Seiten der Gleichung.

$q - q = 0$

Schritt 6.3.1.2

Subtrahiere $q$ von $q$ .

$0 = 0$

Schritt 6.3.2

Da $0 = 0$ , ist die Gleichung immer erfüllt.

Immer wahr

Schritt 6.4

Löse $q = - q$ nach $q$ auf.

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Schritt 6.4.1

Bringe alle Terme, die $q$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.4.1.1

Addiere $q$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$q + q = 0$

Schritt 6.4.1.2

Addiere $q$ und $q$ .

$2 q = 0$

Schritt 6.4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 q = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 q = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 q}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 6.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 q}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 6.4.2.2.1.2

Dividiere $q$ durch $1$ .

$q = \frac{0}{2}$

Schritt 6.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$q = 0$

Schritt 6.5

Liste alle Lösungen auf.

$q = 0$

Schritt 7

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 8